General

**转自：**http://www.sohu.com/a/280972453_600110?spm=smpc.csrpage.news-list.8.1553583042078HOcihqa

配套教材：同济版：线性代数(第五版)，来源于武汉大学数学与统计学院信息与计算科学系黄正华老师个人网页

Extend

向量代数与空间几何初步

向量代数

向量及其表示

矢量、标量
- 向量的表示
- 向量相等：模、方向
- 单位向量、自由向量
- 向量的平行、共线、共面
向量的运算
- 加法
  - 三角形法则
    - 向量不等式：|a\pm b|\leq|a|+|b|∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
    - 交换律，结合律
- 数乘
  - 分配律、结合律
  - 共线定理：
    
    aa
    
    ，
    
    bb
    
    共线等价于
    
    a =kba=kb
    - 线性相关（共线）、线性无关（不共线）
正交标架与向量坐标
- 右手规则
卦限：在 zz 轴下方的是在 zz 轴上方卦限 +4
- 向径：\vec{ow}ow
  - 向径公式：坐标分解式 \vec r=x\vec i+y\vec j+z\vec kr=xi+yj+zk
  - 投影向量：x\vec{i}xi 、 y\vec{j}yj 、z\vec{k}zk
  - 向量坐标：
    
    (x,y,z)(x,y,z)
    - 共线：相应坐标成比例
  - 点分公式：\vec{AM}=\lambda \vec{MB}AM=λMB，MM 在 \vec {AB}AB 上，则 \vec{OM}=\frac{\vec{OA}+\lambda\vec{OB}}{1+\lambda}OM=1+λOA+λOB
- 模与方向角
  - 方向余弦：
    
    (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\left(\frac{x}{|a|}, \frac{y}{|a|}, \frac{z}{|a|}\right)=\frac{a}{|a|}=a^{0}(cosα,cosβ,cosγ)=(∣a∣x,∣a∣y,∣a∣z)=∣a∣a=a0
    - 余弦公式：\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1cos2α+cos2β+cos2γ=1
- 向量在轴上的投影
  - 投影向量
  - 投影（数）：\operatorname{Prj}{u} \boldsymbol{a}=\lambda,Prjua=λ, 或记 (\boldsymbol{a}){u}=\lambda(a)u=λ
  - 向量的投影具有下列性质:（设
    
    \varphiφ
    
    为向量
    
    \boldsymbol{a}a
    
    与
    
    uu
    
    轴的夹角 )
    1. (\boldsymbol{a}){u}=|\boldsymbol{a} | \cos \varphi \quad\left(\right.(a)u=∣a∣cosφ( 即 \left.\operatorname{Prj}{u} \boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}| \cos \varphi\right)Prjua=∣a∣cosφ)
    2. (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}){u}=(\boldsymbol{a}){u}+(\boldsymbol{b})_{u}(a+b)u=(a)u+(b)u
    3. (\lambda \boldsymbol{a}){u}=\lambda(\boldsymbol{a}){u}(λa)u=λ(a)u
向量内积：\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
- 当 b \neq 0b=0 时， \boldsymbol aa 在 \boldsymbol bb 上的投影为(\boldsymbol{a})_{\boldsymbol{b}}=|\boldsymbol{a}| \cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}(a)b=∣a∣cosθ=∣b∣a⋅b
垂直条件：\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}\Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0a⊥b⇔a⋅b=0
- 正交分解：设 \boldsymbol{v} \neq \overrightarrow{0},v=0, 任一向量 \boldsymbol{a}a 有正交分解\boldsymbol{a}=k \boldsymbol{v}+\boldsymbol{a}^{\prime}, \quad \boldsymbol{a}^{\prime} \perp \boldsymbol{v}a=kv+a′,a′⊥v
- \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}={|\boldsymbol{a}|}^{2}a⋅a=∣a∣2 ；{|\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}|}^{2}={|\boldsymbol{a}|}^{2}+{|\boldsymbol{b}|}^{2} \pm 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}∣a±b∣2=∣a∣2+∣b∣2±2a⋅b
- 坐标运算：
  
  \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3
  - 垂直、求余弦角
向量外积
- 方向：右手定则
- 模：|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a} | \boldsymbol{b}| \sin \theta, \quad \theta=\angle(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})∣a×b∣=∣a∥b∣sinθ,θ=∠(a,b) 为 \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}a,b 的夹角
  - 等于以 \boldsymbol aa, \boldsymbol bb 为邻边的平行四边形面积
- 反交换性：\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}b×a=−a×b
- 叉乘的坐标公式：\boldsymbol a\times \boldsymbol b=(\begin{vmatrix} a_2&a_3 \ b_2&b_3 \end{vmatrix},-\begin{vmatrix} a_1&a_3 \ b_1&b_3 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} a_1 & a_2\ b_1 &b_2 \end{vmatrix})a×b=(∣∣∣∣a2b2a3b3∣∣∣∣,−∣∣∣∣a1b1a3b3∣∣∣∣,∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣)
混合积：(\boldsymbol a,\boldsymbol b, \boldsymbol c)=(\boldsymbol a \times \boldsymbol b)\cdot \boldsymbol c=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3 \ b_1&b_2&b_3 \c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}(a,b,c)=(a×b)⋅c=∣∣∣∣∣∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣∣∣∣∣∣
- 其绝对值等于以 \boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol ca,b,c 为棱的平行六面体
- {\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c}{a,b,c} 组成右手系时为正，反之为负
- (\boldsymbol a,\boldsymbol b, \boldsymbol c)=(\boldsymbol b, \boldsymbol c,\boldsymbol a)=(\boldsymbol c,\boldsymbol a, \boldsymbol b)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)
- 双重外积公式：
  
  (\boldsymbol a \times \boldsymbol b)\times \boldsymbol c =(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol b -(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c )\boldsymbol a(a×b)×c=(a⋅c)b−(b⋅c)a
  
  \boldsymbol a \times(\boldsymbol b \times \boldsymbol c)=(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b )\boldsymbol ca×(b×c)=(a⋅c)b−(a⋅b)c

空间平面与直线

平面及其方程

平面的点法式方程

设 P(x, y, z)P(x,y,z) 是平面 \piπ 上任一点。那么向量 \vec{P}{0} \vec{P}P0P 与法向量 nn 必垂直 \left(n \perp \overline{P{0} P}\right),(n⊥P0P), 于是它们的内积等于零:

n \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=0 n⋅P0P=0

由于 n=(A, B, C), \quad \overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), \quadn=(A,B,C),P0P=(x−x0,y−y0,z−z0), 则有

A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0

这就是平面 \piπ 上任一点 PP 的坐标 (x, y, z)(x,y,z) 所满足的方程。

平面的一般方程

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0
- (A,B,C)(A,B,C) 是平面法向量，利用这一点可以判断平面方程特性
特殊的
- 截距式方程：\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1ax+by+cz=1，a,b,ca,b,c 叫做平面在 x, y, zx,y,z 轴上的截距
- 三点式方程：\left|\begin{array}{ccc}x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1}\end{array}\right|=0∣∣∣∣∣∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣∣∣∣∣∣=0

两平面的夹角

设平面 \Pi_{1}Π1 和 \Pi_{2}Π2 的法线向量依次为 n_{1}=\left(A_{1}, B_{1}, C_{1}\right)n1=(A1,B1,C1) 和 n_{2}=\left(A_{2}, B_{2}, C_{2}\right),n2=(A2,B2,C2), 那么两平面的夹角 \thetaθ 公式为

\cos \theta=\frac{\left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}} cosθ=A12+B12+C12A22+B22+C22∣A1A2+B1B2+C1C2∣
点到平面的距离：d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣

空间直线方程

空间直线的一般方程

\left{\begin{array}{l}A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0\end{array}\right.{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
可以看成是两个平面的交线

直线的对称方程与参数方程

平行向量：如果一个非零向量 s 平行于一条已知直线 L ，这个向量就叫做这直线的方向
向量
- s 的坐标叫做该直线的一组方向数，s 的方向余弦叫做这直线的方向余弦
对称式方程/点向式方程：\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}mx−x0=ny−y0=pz−z0，其中参数出自直线 LL 上一点 M(x_0,y_0,z_0)M(x0,y0,z0) 和它的一方向向量 s=(m,n,p)s=(m,n,p)
参数方程：\left{\begin{array}{l}x=x_{0}+m t \ y=y_{0}+n t \ z=z_{0}+p t\end{array}\right.⎩⎨⎧x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt

两直线的夹角

设直线的方向向量为 s_1=(m_1,n_1,p_1)s1=(m1,n1,p1) 和 s_2=(m_2,n_2,p_2)s2=(m2,n2,p2) ，那么两直线的夹角公式为：

\cos \varphi=\frac{\left|m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}+p_{1} p_{2}\right|}{\sqrt{m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}} \sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}} cosφ=m12+n12+p12m22+n22+p22∣m1m2+n1n2+p1p2∣

直线与平面的夹角
设直线的方向为 s = (m,n, p)s=(m,n,p)，平面的法线向量为 n = (A,B,C)n=(A,B,C)，那么两直线的夹角公式为**（注意是 sin）**

\sin \varphi=\frac{|A m+B n+C p|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}} sinφ=A2+B2+C2m2+n2+p2∣Am+Bn+Cp∣

两直线的公垂线方程求法：

由两直线 L_1L1,L_2L2 的方向向量叉乘可得公垂线的方向向量
由公垂线的方向向量和 L_1L1 的方向向量以及 L_1L1上一点可得过公垂线和 L_1L1 的平面方程 S_1S1;由公垂线的方向向量和 L_2L2 的方向向量以及 L_2L2上一点可得过公垂线和 L_2L2 的平面方程 S_2S2
S_1S1 和 S_2S2 组成的方程组即是公垂线方程

平面束方程

设直线 LL 由方程组

\left{\begin{array}{l} A x+B y+C_{1} z+D_{1}=0 \ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 \end{array}\right.{Ax+By+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

确定，其中系数 A_{1}, B_{1}, C_{1}A1,B1,C1 与 A_{2}, B_{2}, C_{2}A2,B2,C2 不成比例. 我们建立三元一次方程
A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}+\lambda\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0
这就是通过直线 LL 的平面束的方程，但是不能表示 A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0A2x+B2y+C2z+D2=0 这个平面

曲面

曲面方程：曲面上的点坐标都满足方程，不在曲面上的点坐标都不满足方程

旋转曲面

旋转曲面：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面
- 母线：旋转曲线
- 轴：定直线
设在 y O zyOz 坐标面上有一已知曲线 CC ，它的方程为:f(y, z)=0f(y,z)=0
把这曲线绕 zz 轴旋转一周，就得到一个以 zz 轴为轴的旋转曲面，它的方程可以求得如下:
1. 设 M_{1}\left(0, y_{1}, z_{1}\right)M1(0,y1,z1) 为曲线 CC 上的任一点则 f\left(y_{1}, z_{1}\right)=0f(y1,z1)=0
2. 当曲线 CC 绕 zz 轴旋转时, 点 M_{1}M1 绕 zz 轴转到另一点 M(x, y, z),M(x,y,z), 这时 z=z_{1}z=z1 保持不交,且点 MM 到 zz 轴的距离为 d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left|y_{1}\right|d=x2+y2=∣y1∣。
3. 将 z_{1}=z, \quad y_{1}=\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}z1=z,y1=±x2+y2 代入 (3) 式, 有 f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0f(±x2+y2,z)=0
  这就是旋转曲面的方程。
圆锥面：直线 LL 绕另一条与 LL 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面
- 顶点：两直线的交点
- 半顶角：两直线的夹角 0<\alpha<\frac{\pi}{2}0<α<2π
旋转单叶双曲面：双曲线绕 zz 轴旋转
旋转双叶双曲面：双曲线绕 xx 轴旋转

柱面

柱面：平行于定直线

l_0l0

并沿定曲线

CC

移动的直线

LL

形成的轨迹
- 准线：曲线 CC
- 母线：动直线 l_0l0
- 一般地，只含 x,yx,y 而缺 zz 的方程 F ( x, y)= 0F(x,y)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 zz 轴的柱面，其准线是 xOyxOy 面上的曲线C:F(x, y)=0C:F(x,y)=0

二次曲面

二次曲面：F(x, y,z)=0F(x,y,z)=0 所表示的曲面
基本研究方法：截痕法
基本类型
1. 椭球面：\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a, b, c>0)a2x2+b2y2+c2z2=1(a,b,c>0)
2. 抛物面
  - (1) 椭圆拋物面：\frac{x^{2}}{2 p}+\frac{y^{2}}{2 q}=z \quad(p, q>0)2px2+2qy2=z(p,q>0)
    
    (2) 双曲抛物面 ( 鞍形曲面 )：-\frac{x^{2}}{2 p}+\frac{y^{2}}{2 q}=z\quad(p, q>0)−2px2+2qy2=z(p,q>0)
3. 双曲面
  - 单叶双曲面：\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a, b, c>0)a2x2+b2y2−c2z2=1(a,b,c>0)
  - 双叶双曲面：\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \quad(a, b, c>0)a2x2+b2y2+c2z2=−1(a,b,c>0)
4. 椭圆锥面：\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^2 \quad(a, b>0)a2x2+b2y2=z2(a,b>0)

曲线

空间曲线的一般方程

空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 \left{\begin {array} {l}F(x,y,z)=0\G(x,y,z)=0 \end{array}\right.{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0

空间曲线的参数方程

将曲线 CC 上的动点坐标 x, y, zx,y,z 表示成参数 tt 的函数：\left{\begin{array}{l}x=x(t)\y=y(t)\z=z(t) \end{array}\right.⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)
称它为空间曲线的参数方程.

空间曲线在坐标面上的投影

以曲线 CC 为准线、母线平行于 zz 轴(即垂直于 xOyxOy面)的柱面叫做曲线CC 关于 xOyxOy 面的投影柱面；投影柱面与 xOyxOy 面的交线叫做空间曲线 CC 在 xOyxOy 面上的投影曲线, 简称投影
方法：

\left{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0

消去变量 zz 后所得的方程

H(x, y)=0 H(x,y)=0

则在 xOyxOy 面上的投影是： \left{\begin {array} {l}H(x,y)=0\z=0 \end{array}\right.{H(x,y)=0z=0

线性方程组的解法

行向量、列向量
- 内积
  - 正交
矩阵的引入
- 线性方程组
  - 矩阵：系数
  - 增广矩阵：系数+常数项
- 矩阵：A=A_{m\times n}=(a_{ij}){m\times n}=(a{ij})A=Am×n=(aij)m×n=(aij)
  - 元：a_{ij}aij
    - 元为实（复）数——实（复）矩阵
  - 主对角线、副对角线
  - 特殊矩阵
    - 方阵：m=nm=n
    - 行矩阵、列矩阵
    - 对角矩阵：仅主对角线元不为 0，记作 diag(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)diag(λ1,λ2,…,λn)
    - 零矩阵
    - 单位矩阵
    - 同型矩阵：两矩阵行列数相等
      - 相等=同型矩阵+所有元相等
矩阵解线性方程组
- LS 公式：将 AXAX 变换为矩阵之积
矩阵的行变换
1. 互换两行 r_i\leftrightarrow r_jri↔rj
2. 以 k\neq0k=0 乘以某一行所有元素 r_i*kri∗k
3. 把某一个行的 kk 倍加到另一行上 r_i+kr_jri+krj
等价 \sim∼：反身性、对称性、传递性
- 有限初等行变换所得矩阵等价
LS 消元法
1. 由线性方程组得到增广矩阵
2. 增广矩阵经过初等行变换变成最简阶梯形矩阵
3. 最简阶梯形矩阵可变换为标准形，从而得到解或通解（解空间）

方程有解问题

通过 LS 消元法可以获得最简阶梯形矩阵，假设未知数个数为 nn，方程个数为 mm，最后 m-rm−r 行为 0，即总共 rr 行不为 0，剩下的方程个数为 s(s\geq r)s(s≥r);
- s>rs>r：有矛盾方程，无解
- s=rs=r
  
  ：有解
  - r=nr=n，具有唯一解
  - r<nr<n
    
    ，有
    
    rr
    
    个非独立未知元，
    
    n-rn−r
    
    个独立未知元（自由参数）
    - 解的表示：将非独立未知元用独立未知元表示
齐次定理：若未知元个数 nn 大于方程个数 mm, 则齐次组 AX=0AX=0 有非零解（有无穷多）。即，若 n > mn>m, 则 AX=0AX=0 必有非零解。

数域

数域：PP 是复数集，且对加减乘除封闭
- 有理数域是最小的数域，被所有数域包含
数环：PP 是复数集，且对加减乘封闭
更多抽代的内容可以在这里找到：近世代数大纲

向量空间

矩阵的加法：对应元相加
矩阵的数乘：每一元都乘以系数
矩阵的转置：a_{ij} \leftrightarrow a_{ji}aij↔aji

线性相关与线性无关

线性相关：对 F^nFn 中 kk 个向量 a_1,\dots,a_k\in F^na1,…,ak∈Fn，如果存在不全为 0 的数 x_1,\dots,x_kx1,…,xk 满足条件 x_1a_1+\dots+x_ka_k=0x1a1+⋯+xkak=0，就称 \left{a_1,\dots,a_k\right}{a1,…,ak} 线性相关。
如果不是线性相关，就是线性不相关
线性相关等价于：其中某个向量可以表示为其余向量的线性组合
单边法则：设

a_1,\dots,a_k(a_1\neq0)a1,…,ak(a1=0)
- 如果每个 a_jaj 都不被它前面的向量线性组合表示，那么 \left{a_1,\dots,a_k\right}{a1,…,ak} 线性无关
- \left{a_1,\dots,a_k\right}{a1,…,ak} 线性相关，则必存在 j\leq nj≤n 使 a_jaj 能够被之前的向量线性组合表示
多一法则：若 \left{a_1,\dots,a_n\right}{a1,…,an} 线性无关，\left { a_1,\dots,a_n,b\right}{a1,…,an,b} 线性相关，则 bb 可以用 a_1\dots,a_na1…,an 表示
长短法则：长相关则短相关；短无关则长无关
- 这里的长短是各个向量维数的扩充
大数法则：若 pp 个向量 \left{a_1,\dots,a_p\right}{a1,…,ap} 可由 tt 个向量 \left{b_1,\dots,b_t\right}{b1,…,bt} 表示，且 p > tp>t , 则 \left{a_1,\dots,a_p\right}{a1,…,ap} 必线性相关

通过解方程组判断线性相关

向量 a_1,\dots,a_na1,…,an 线性相关的充分必要条件是，方程 x_1a_1+\cdots+x_na_n=0x1a1+⋯+xnan=0 有非零解
向量 a_1,\dots,a_na1,…,an 线性无关的充分必要条件是，方程 x_1a_1+\cdots+x_na_n=0x1a1+⋯+xnan=0 有唯一解 (0,\dots,0)(0,…,0)

基

基：如果

TT

是

F^nFn

的一个向量组

\left{a_1,a_2,\dots,a_n\right}{a1,a2,…,an}

，能够通过

唯一

线性组合

\sum x_ia_i=b∑xiai=b

表示

F^NFN

中的任何一个向量，就称

TT

是

F_nFn

的一组基
- 基是对于空间而言的
- 坐标：线性组合系数 (x_1,x_2,\dots,x_n)(x1,x2,…,xn)
- 自然基：\left{e_1,e_2,\dots,e_n\right}{e1,e2,…,en}
- 判定定理：F^nFn 中的向量组 SS 是基 \iff⟺ 中有 nn 个线性无关向量

判定线性方程组唯一解

方程

AX=bAX=b

有唯一解

\iff⟺

方程

AX=0AX=0

有唯一解
- 此时 AA 的列向量组构成一组基

基变换与坐标变化变换

基变换公式：设向量组 \boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}{n}α1,α2,…,αn 和 \boldsymbol{\beta}{1}, \boldsymbol{\beta}{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}{n}β1,β2,…,βn 是 nn 维向量空间 VV 的两个基，若它们之间的关系可表示为

\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right) C (β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)C

其中 \boldsymbol{C}=\left(c_{i j}\right){m \times n}C=(cij)m×n，则称矩阵 \boldsymbol{C}C 为从基 \boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}{n}α1,α2,…,αn 到基 \boldsymbol{\beta}{1}, \boldsymbol{\beta}{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n}β1,β2,…,βn 的过渡矩阵。此式为基变换公式。
坐标变换公式：设向量组 \boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}{n}α1,α2,…,αn 和 \boldsymbol{\beta}{1}, \boldsymbol{\beta}{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}{n}β1,β2,…,βn 是 nn 维向量空间 VV 的两个基，由 \boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}{n}α1,α2,…,αn 到 \boldsymbol{\beta}{1}, \boldsymbol{\beta}{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}{n}β1,β2,…,βn 的过渡矩阵为 CC，若 VV 中的任意元素在这两组基下的坐标为 (x_1,x_2,\dots,x_n)^T(x1,x2,…,xn)T 和 (y_1,y_2,\dots,y_n)^T(y1,y2,…,yn)T ，则

\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)^T=C\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)^T (x1,x2,…,xn)T=C(y1,y2,…,yn)T
- 1 号基到 2 号基的过渡矩阵就是 2 号基到 1 号基的坐标阵（重在理解，不要死记硬背）

极大线性无关组

设向量组 SS 中 PP 个向量 \left{\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{p}\right}{α1,α2,…,αp} 满足条件：
1. \left{\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right}{α1,α2,…,αn} 线性无关
2. \forall \boldsymbol{\beta}\in S, \left{\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{p},\boldsymbol{\beta}\right}∀β∈S,{α1,α2,…,αp,β} 线性相关
则称 \left{\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{p}\right}{α1,α2,…,αp} 是 SS 中的一个极大无关组
- pp 叫做 SS 的秩 Rank
- 极大线性无关组是对于向量组而言的
性质
1. 大组 SS 中的任一向量都可以由极大组唯一表示（多 1 法则）
2. 两个极大无关组可以相互表示
3. 任意两个极大组含有相同的向量个数
4. AA 中向量可以被 BB 中向量表示，则 rank A\leq rankBrankA≤rankB
同解定理：对方程组 AX=bAX=b 经过行变换得到 BX=dBX=d，则两者同解，而且 \boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}{n}α1,α2,…,αn 和 \boldsymbol{\beta}{1}, \boldsymbol{\beta}{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}{n}β1,β2,…,βn 中极大组的位置是一一对应的
- 行变不改变相关性和无关性
向量组秩/极大线性无关组的求法：初等行变换
nn 维空间 VV 中的任意线性无关子集 SS 可以扩充为 VV 的基：设 BB 是 VV 的一组基，求出 S\cup BS∪B 的极大线性无关组即可

子空间

设 VV 是数域 FF 上的向量空间，VV 的非空子集 WW 如果满足 WW 对加法和数乘封闭，就称 WW 是 F^nFn 的子空间
- 子空间的线性无关向量的最大个数是 WW 的维数，记作 \dim WdimW
子集生成的子空间：由数域 FF 上向量空间 VV 的子集 SS 的全体线性组合产生的子空间，记为 L(S)L(S)
- \dim L(S) =rank SdimL(S)=rankS
解空间：齐次线性方程组 AX=0AX=0 的解集
- \dim V_A=n-rankAdimVA=n−rankA，即通解中可以自由取值的未知数个数
- 解空间的一组基称为这个方程的一个基础解系
非齐次线性方程组 AX=bAX=b 有解：rankA=rank(A,b)rankA=rank(A,b)
- 此时的解为：AX=bAX=b 的一个解 X_1X1 和 AX=0AX=0 的解空间

子空间的交与和

子空间的交：对于方程组的解空间而言，可以理解为方程组联立再求解空间
- 子空间的交仍然是子空间
子空间的和：W_1+W_2=\left{w_1,+w_2|w_1\in W_1,w_2\in W_2\right}W1+W2={w1,+w2∣w1∈W1,w2∈W2}
- 可以理解为求 W_1W1 和 W_2W2 的基的集合的基
- \dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2)dim(W1+W2)=dimW1+dimW2−dim(W1∩W2)
下列命题等价：
1. W_1\cap W_2=\left{0\right}W1∩W2={0}
2. \dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2dim(W1+W2)=dimW1+dimW2
3. 每个 w=w_1+w_2w=w1+w2 由 ww 唯一确定
4. w_1+w_2=0w1+w2=0 等价于 w_1=w_2=0w1=w2=0
  满足命题的 W_1+W_2W1+W2 称为直和，记作 W_1\oplus W_2W1⊕W2

行列式

det(A)=|A|=\left|\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|det(A)=∣A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann∣∣∣∣∣∣∣∣
=\sum(-1)^{t\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}\right)} a_{p_{1} 1} a_{p_{2} 2} \cdots a_{p_{n} n}=∑(−1)t(p1p2⋯pn)ap11ap22⋯apnn
三角公式：\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \ \cdots & \cdots & \cdots \ 0 & 0 & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋯0a12a22⋯0⋯⋯⋯⋯a1na2nann∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22⋯ann
行列式的性质
- |A^T|=|A|∣AT∣=∣A∣
- 如果用同一个数 k 乘行列式中一行/列的各元素，等于用 k 乘这个 行列式
- 如果行列式中一行/列的所有元素全为 0，则行列式为 0
- 如果两行（列）互换，那么行列式变号
- 分项公式
- 倍加公式：行列式值不变
Vandermonde 行列式

矩阵的代数运算

矩阵运算的定义与运算律

矩阵运算的定义

线性运算
- 加法：行数、列数相等
- 数乘：每个元都需要乘常数
乘法 ABAB：AA 的列数和 BB 的行数相等
- 第 (i,j)(i,j) 元等于 AA 的第 ii 行与 B 的第 jj 列之积
- 不满足交换律、消去律
零矩阵 OO：所有元素都为 0，相当于 0
分块矩阵：把矩阵中的元素划分为一个个块，把块当成矩阵的元素
- 分块矩阵的初等变换
  - 行变换时，左乘系数矩阵；列变换时，右乘系数矩阵
迹：一个n×n矩阵A的主对角线上各个元素的总和，记作 tr(A)tr(A)l

乘法矩阵运算律

单位矩阵 II：相当于 1
对加法的分配律，对数乘的结合律
乘法结合律
- 错位结合

转置和共轭

转置：A^TAT 的第 (i,j)(i,j) 元相当于 AA 的第 (j,i)(j,i) 元
- 性质：
  - (A^T)^T=A(AT)T=A
  - (A+B)^T=A^T+A^T(A+B)T=AT+AT
  - (AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT
- 对称：
  - 对称方阵：A^T=AAT=A
  - 反对称方阵：A^T=-AAT=−A
共轭 \bar AAˉ：矩阵的每个元换成它的共轭复数
A^HAH（另一种表达是 A^*A∗，但是和伴随矩阵不一样）：{\bar A}^TAˉT
- A^H=AAH=A：埃尔米特方阵
- A^H=-AAH=−A：斜埃尔米特方阵

逆矩阵

矩阵的逆

A^{-1}A−1

：

A^{-1}A=AA^{-1}=IA−1A=AA−1=I
- 判定：AA 可逆 \Leftrightarrow⇔ |A|\neq 0∣A∣=0
- 性质
  - {A^{-1}}^{-1}=AA−1−1=A
  - (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
  - (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T
- 算法
  - 求矩阵
    
    AX=BAX=B
    
    的解
    - 求矩阵 XA=BXA=B 的解时，可以先两边转置
  - 求逆公式：A^{-1}=|A|^{-1}A^*A−1=∣A∣−1A∗

余子式与代数余子式

余子式：把元素 a_{ij}aij 所在的第 ii 行和第 jj 列划去后，留下来的阶行列式叫做元素 a_{ij}aij 的余子式，记作 M_{ij}Mij
代数余子式：A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij
展开公式：行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in} (i = 1,2,\dots,n)D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin(i=1,2,…,n)
- 错位公式：0=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\dots+a_{in}A_{jn} (i = 1,2,\dots,n)0=ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn(i=1,2,…,n)
伴随矩阵 A^*A∗：第 (i,j)(i,j) 元是 A_{ij}Aij
- A^*A=|A|IA∗A=∣A∣I

线性映射

分解公式：\boldsymbol{\alpha}=a_1\varepsilon_1+\dots+a_n\varepsilon_nα=a1ε1+⋯+anεn，其中 \varepsilon_iεi 是基
线性映射：

WW

为一个空间，且

\varphi:W\rightarrow R^{n}φ:W→Rn

为一个映射，若：
1. \varphi(\alpha+\beta)=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)φ(α+β)=φ(α)+φ(β)
2. \varphi(k \alpha)=k \varphi(\alpha)φ(kα)=kφ(α)
  称 \varphiφ 为 WW 到 R^{n}Rn 的一个线性映射
线性映射的性质
1. \varphi(0)=0φ(0)=0
2. 若像无关，则原像也无关；若原像相关，则像相关

矩阵的相合与相似

多项式分解定理

一元多项式主要结论分解定理: 任一个 nn 次多项式 f(x)f(x)

f(x)=x^{\mathrm{n}}+c_{n-1} x^{\mathrm{n}-1}+\cdots+c_{1} x+c_{0} f(x)=xn+cn−1xn−1+⋯+c1x+c0

在复数域必有分解式：f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)\left(x-\lambda_{2}\right) \cdots\left(x-\lambda_{n}\right)f(x)=(x−λ1)(x−λ2)⋯(x−λn)
数 \lambda_{1}, \lambda_{2} \cdots, \lambda_{n}λ1,λ2⋯,λn 叫 f(x)f(x) 的 nn 个根(含重复根)
- 对比系数，可得韦达定理：
  
  \lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=-c_{n-1}λ1+λ2+⋯+λn=−cn−1
  \lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}=(-1)^{n} c_{0}λ1λ2⋯λn=(−1)nc0

特征值与特征向量

定义: AA 是 nn 阶方阵，若有数 \lambda_{1}λ1 和**非 0 **向量 XX 使 AX=\lambda_{1}XAX=λ1X，称 \lambda_{1}λ1 为 AA 的特征值。 XX 称为 AA 的属于特征值 \lambda_{1}λ1 的特征向量
- AA 的特征值 \lambda_{1}λ1 就是齐次方程组 \left(A-\lambda_{1} I\right) X=0(A−λ1I)X=0 有非 0 解的 \lambda_{1}λ1 值，即 |A-\lambda I|=0∣A−λI∣=0的解
- |\lambda I-A|∣λI−A∣ 叫 AA 的特征式；
  |\lambda I-A|=0∣λI−A∣=0 叫 AA 的特征方程;
  |\lambda I-A|=0∣λI−A∣=0 的根叫 AA 的特征值（特征根）
- 特征向量线性无关
nn 阶阵 AA 的特征根与特向量求法：
1. 解特征方程 |A-\lambda I|=\mathbf{0},∣A−λI∣=0, 求出 nn 个特征值 (含重根) ;
2. 对每一根 \lambda_{k},λk, 求 \left(A-\lambda_{k} I\right) \mathrm{X}=0(A−λkI)X=0 的非 0 解 XX 是 \lambda_{k} k_{k}λkkk 的特征向量
- 特征向量数不超过其特征根的重复数
特征根的性质
- 设
  
  \lambdaλ
  
  是
  
  AA
  
  的特征值，则
  1. \lambdaλ 是 A^TAT 的特征值
  2. \lambda^{-1}λ−1 是 A^{-1}A−1 的特征值
  3. f(\lambda)=a_0+a_1\lambda+\dots+a_m\lambda^mf(λ)=a0+a1λ+⋯+amλm 是 f(A)=a_0+a_1A+\dots+a_mA^mf(A)=a0+a1A+⋯+amAm 的特征值
迹：\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n}tr(A)=a11+a22+…+ann
- 由韦达定理可得
  1. \lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}=\operatorname{tr}(A)λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann=tr(A)
  2. \lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}=|A|λ1λ2⋯λn=∣A∣
    - AA 可逆，则 AA 的特征值都不为 0
相似：定义设 A 、 BA、B 为 nn 阶方阵，如果存在可逆阵 PP, 使得

P^{-1} A P=B P−1AP=B

则称 AA 与 BB 相似, 记为 A \sim BA∼B
- 矩阵的相似是等价关系
- 相似矩阵具有相同的特征多项式, 也有相同的特征值
  - 但是：有相同特征多项式的矩阵不一定相似
相似对角化
1. 属于不同特征根的特征向量线性无关
2. 同一特征根的特征向量的非 0 线性组合仍是该特征根的特征向量
3. 如果 A\sim BA∼B，则 AA 和 BB 的特征式相同
4. AA 可对角化的充分必要条件是AA 有 n 个无关特征向量
5. AA 有 n 个互异的特征根, 则 AA 与对角阵相似
6. 一个矩阵 AA 相似于对角阵的充要条件是 AA 的任一特征根的次数与几何重数相等
7. 求 P^{-1}AP=BP−1AP=B，其中 BB 是对角阵，那么 P=\left{\xi_1,\dots,\xi_n\right}P={ξ1,…,ξn}，\xi_iξi 是特征向量

内积

内积：设实的列向量 \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}α=(a1,a2,⋯,an)T,\beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}β=(b1,b2,⋯,bn)T。令(\alpha, \beta)=\alpha \cdot \beta = a_{1}b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}(α,β)=α⋅β=a1b1+a2b2+⋯+anbn。
(\alpha, \beta)(α,β) 叫做\alpha, \betaα,β 的内积或点积
- 分配律:(\alpha+\beta)\cdot \vec{c}=\alpha \cdot \vec{c}+\beta \cdot \vec{c}(α+β)⋅c=α⋅c+β⋅c
- 若 (\alpha,\beta)=0(α,β)=0，称 \alphaα 与 \betaβ 正交，记作 \alpha \perp \betaα⊥β
正交向量组：定义设 \alpha_{1}, a_{2}, \ldots, \alpha_{s}α1,a2,…,αs 是一组非 0 向量。若其中任两个向量都是正交的，则称其为一个正交向量组或正交组
- 标准正交组：若正交向量组中每个向量都是单位向量, 则称其为标准正交组
欧氏空间：定义了内积的实向量空间
- (\alpha,\beta)=\alpha^T\beta(α,β)=αTβ

度量矩阵

度量矩阵：设

VV

一个 n 维欧几里得空间，在

VV

中取一组基

\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n},ε1,ε2,…,εn,

对

VV

中任意两个向量

\alpha=x_{1} \varepsilon_{1}+x_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+x_{n} \varepsilon_{n}α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn

和

\beta=y_{1} \varepsilon_{1}+y_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+y_{n} \varepsilon_{n}β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn

。由内积的性质得

(\alpha, \beta)=\left(x_{1} \varepsilon_{1}+x_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+x_{n} \varepsilon_{n}, y_{1} \varepsilon_{1}+y_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+y_{n} \varepsilon_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right) x_{i} y_{j} .(α,β)=(x1ε1+x2ε2+…+xnεn,y1ε1+y2ε2+…+ynεn)=∑i=1n∑j=1n(εi,εj)xiyj.

令

a_{i j}=\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)(i, j=1,2, \ldots, n),aij=(εi,εj)(i,j=1,2,…,n),

显然

a_{i j}=a_{j i}aij=aji

。于是

(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j} .(α,β)=∑i=1n∑j=1naijxiyj.

X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \ x_{2} \ \vdots \ x_{n}\end{array}\right) Y=\left(\begin{array}{c}y_{1} \ y_{2} \ \vdots \ y_{n}\end{array}\right)X=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞Y=⎝⎜⎜⎜⎛y1y2⋮yn⎠⎟⎟⎟⎞

分别是

\alpha, \betaα,β

的坐标，而矩阵

A=\left(a_{i j}\right)_{n n }A=(aij)nn

称为基

\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n}ε1,ε2,…,εn

的度量矩阵（格拉母阵），因而度量矩阵完全确定了内积，即

(\alpha, \beta)=X^{T} A Y(α,β)=XTAY
- 因为 (\alpha,\alpha)>0(α,α)>0，所以度量矩阵 AA 是正定矩阵
- 不同基底下的度量矩阵是合同的
最简单的度量矩阵：标准正交基
许米特正交化方法：将一组基标准正交化
- \beta_{m}=\alpha_{m}-\frac{\left\langle\alpha_{m}, \beta_{1}\right\rangle}{\left\langle\beta_{1}, \beta_{1}\right\rangle} \beta_{1}-\frac{\left\langle\alpha_{m}, \beta_{2}\right\rangle}{\left\langle\beta_{2}, \beta_{2}\right\rangle} \beta_{2}-\cdots–\frac{\left\langle\alpha_{m}, \beta_{m-1}\right\rangle}{\left\langle\beta_{m-1}, \beta_{m-1}\right\rangle} \beta_{m-1}βm=αm−⟨β1,β1⟩⟨αm,β1⟩β1−⟨β2,β2⟩⟨αm,β2⟩β2−⋯−−⟨βm−1,βm−1⟩⟨αm,βm−1⟩βm−1
用正交阵把实对称阵

AA

相似对角化方法如下：
1. 写出A的特征多项式|\lambda I-A|,∣λI−A∣, 并求出所有特征根 (均为实数) ;
2. 对每个特征根，求出其全部无关特征向量;
3. 对属于同一个特征值 \lambdaλ 的线性无关特征向量，用正交化方法化为标准正交组
4. 用所得到的标准正交特征向幅作为列组成矩阵 QQ, 则 Q^{-1} A Q=Q^{\mathrm{T}} A QQ−1AQ=QTAQ 是对角形, 且对角元为 AA 的全部特征值.

二次型

二次型：设

ff

是数域

KK

上的

nn

元二次多项式：

f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{11} x_{1}^{2}+2 a_{12} x_{1} x_{2}+2 a_{13} x_{1} x_{3}+\cdots+2 a_{1 n} x_{1} x_{n}+a_{22} x_{2}^{2}+2 a_{23} x_{2} x_{3}+\cdots+2 a_{2 n} x_{2} x_{n}+\cdots+a_{n n} x_{n}^{2}f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+⋯+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+⋯+2a2nx2xn+⋯+annxn2

ff

称为数域

KK

上的

nn

元二次型，简称二次型
- 当 a_{i j}aij 是复数时, 称为复二次型；当 a_{i j}aij 是实数时, 称为实二次型
- 表示方法
  1. 函数式
  2. 矩阵：
    
    X^TAXXTAX
    
    ，其中
    
    AA
    
    是对称矩阵
    - AA 叫做二次型 ff 的矩阵；ff 叫做对称矩阵 AA 的二次型；对称矩阵 AA 的秩叫做二次型 ff 的秩
    - KK 上的二次型 ff 和对称矩阵 AA 一一对应
化二次型为标准形：使二次型 ff 经可逆变换 x = Cyx=Cy 变成标准形，即让 C^TACCTAC 变成对角矩阵
合同：设

AA

,

BB

为 n 阶方阵，若有可逆阵

CC

，使

B=C^{T} A CB=CTAC

，则称

AA

与

BB

合同
- 合同关系是一种等价关系
化二次型为平方项等价于对对称阵 AA 寻找可逆阵 CC，使 C^TACCTAC 为对角阵，即寻找合同关系下的标准形

正定二次型

规范形定理
实二次型 f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)f(x1,x2,…,xn) 经过可逆变换可化为规范形:

f=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{p}^{2}-y_{p+1}^{2}-\cdots-y_{r}^{2} f=y12+y22+⋯+yp2−yp+12−⋯−yr2
正定二次型：设实二次型 f(x)=x^{\mathrm{T}} A xf(x)=xTAx 对 R^{n}Rn 中任何非0向量 xx，必有 f(x)>0f(x)>0，则称它为正定二次型，称 AA 为正定阵，记为：A>0A>0
负定二次型：若对 R^{n}Rn 中任何非0向量 xx，有 f(x)<0f(x)<0，则称之为负定二次型，称 AA 为负定矩阵，记为： \mathrm{A}<0A<0
- 正定(负定)矩阵必为实对称阵
- 对 X \neq 0, \Rightarrow \existsX=0,⇒∃ 分量 x_{i} \neq 0,xi=0, 不是所有 x_{i} \neq 0xi=0
正定不变性
- 可逆线性变换不改变二次型的正定性
- 相合矩阵的正定性相同
- 同阶正定阵的和仍为正定阵
AA 为正定阵等价于 AA 的所有顺序主子式都大于 0
正惯性指数 pp 和负惯性指数 qq 判断正定
- p=np=n 正定
- q=nq=n 负定
- p<np<n 且 q=0q=0 半正定
- q<nq<n 且 p=0p=0 半负定
- p,q>0p,q>0 不定

School Learning

线性代数复习要点

https://equinox-shame.github.io/2022/03/14/线性代数复习要点/

作者

梓曰

发布于

2022年3月14日

许可协议

阶段性学习(摸鱼)报告上一篇

Z3求解约束器下一篇